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  <title>线性代数笔记 | Abel&#39;Blog</title>
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  <meta name="description" content="1. 行列式 二阶、三阶行列式 排列 对换   n阶行列式的定义 行列式性质 行列式按行展开 按行展开 拉普拉斯定理 行列式相乘   行列式的计算（一） 行列式的计算（二） 例6：加边法解方程 例7：范德蒙德行列式 例8：反对称行列式、对称行列式   克莱姆法则 Cramer’s rule   2. 矩阵 Matrix 矩阵概念 零矩阵 负矩阵 单位矩阵 矩阵运算（一） 加法 减法 数乘 提公因">
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        <section id="main"><article id="post-2021/2021-01-22-线性代数" class="article article-type-post" itemscope itemprop="blogPost">
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  <time datetime="2021-07-28T03:33:01.239Z" itemprop="datePublished">2021-07-28</time>
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      线性代数笔记
    </h1>
  

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        <ul>
<li><a href="#1-%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F">1. 行列式</a><ul>
<li><a href="#%E4%BA%8C%E9%98%B6%E4%B8%89%E9%98%B6%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F">二阶、三阶行列式</a><ul>
<li><a href="#%E6%8E%92%E5%88%97">排列</a></li>
<li><a href="#%E5%AF%B9%E6%8D%A2">对换</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#n%E9%98%B6%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89">n阶行列式的定义</a></li>
<li><a href="#%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E6%80%A7%E8%B4%A8">行列式性质</a></li>
<li><a href="#%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E6%8C%89%E8%A1%8C%E5%B1%95%E5%BC%80">行列式按行展开</a><ul>
<li><a href="#%E6%8C%89%E8%A1%8C%E5%B1%95%E5%BC%80">按行展开</a></li>
<li><a href="#%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86">拉普拉斯定理</a></li>
<li><a href="#%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9B%B8%E4%B9%98">行列式相乘</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%80">行列式的计算（一）</a></li>
<li><a href="#%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%BA%8C">行列式的计算（二）</a><ul>
<li><a href="#%E4%BE%8B6%E5%8A%A0%E8%BE%B9%E6%B3%95%E8%A7%A3%E6%96%B9%E7%A8%8B">例6：加边法解方程</a></li>
<li><a href="#%E4%BE%8B7%E8%8C%83%E5%BE%B7%E8%92%99%E5%BE%B7%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F">例7：范德蒙德行列式</a></li>
<li><a href="#%E4%BE%8B8%E5%8F%8D%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F">例8：反对称行列式、对称行列式</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%88%99-cramers-rule">克莱姆法则 Cramer’s rule</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#2-%E7%9F%A9%E9%98%B5-matrix">2. 矩阵 Matrix</a><ul>
<li><a href="#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E6%A6%82%E5%BF%B5">矩阵概念</a></li>
<li><a href="#%E9%9B%B6%E7%9F%A9%E9%98%B5">零矩阵</a></li>
<li><a href="#%E8%B4%9F%E7%9F%A9%E9%98%B5">负矩阵</a></li>
<li><a href="#%E5%8D%95%E4%BD%8D%E7%9F%A9%E9%98%B5">单位矩阵</a></li>
<li><a href="#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%BF%90%E7%AE%97%E4%B8%80">矩阵运算（一）</a><ul>
<li><a href="#%E5%8A%A0%E6%B3%95">加法</a></li>
<li><a href="#%E5%87%8F%E6%B3%95">减法</a></li>
<li><a href="#%E6%95%B0%E4%B9%98">数乘</a></li>
<li><a href="#%E6%8F%90%E5%85%AC%E5%9B%A0%E5%AD%90">提公因子</a></li>
<li><a href="#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E4%B9%98%E6%B3%95%E9%9D%9E%E5%B8%B8%E9%87%8D%E8%A6%81">矩阵的乘法（非常重要）</a><ul>
<li><a href="#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E9%80%9F%E8%AE%B0">矩阵乘法速记</a></li>
<li><a href="#%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8D%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E7%9A%84%E4%B8%89%E8%A7%84%E5%BE%8B">乘法不满足的三规律</a></li>
<li><a href="#%E4%B8%8E%E9%9B%B6%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9B%B8%E4%B9%98">与零矩阵相乘</a></li>
<li><a href="#%E4%B8%8Ee%E5%8D%95%E4%BD%8D%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9B%B8%E4%B9%98">与E（单位矩阵）相乘</a></li>
<li><a href="#%E7%BB%93%E5%90%88%E5%BE%8B%E5%88%86%E9%85%8D%E5%BE%8B">结合律分配律</a></li>
<li><a href="#%E4%BE%8B6%E5%8F%AF%E4%BA%A4%E6%8D%A2">例6：可交换</a></li>
<li><a href="#%E4%BE%8B7">例7：</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%BF%90%E7%AE%97%E4%BA%8C">矩阵运算（二）</a><ul>
<li><a href="#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%B9%82%E8%BF%90%E7%AE%97">矩阵幂运算</a></li>
<li><a href="#%E8%BD%AC%E7%BD%AE">转置</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9F%A9%E9%98%B5">特殊矩阵</a><ul>
<li><a href="#%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5">数量矩阵</a></li>
<li><a href="#%E5%AF%B9%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5">对角形矩阵</a></li>
<li><a href="#%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5">三角形矩阵</a></li>
<li><a href="#%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5">对称矩阵</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B8%80">逆矩阵（一）</a><ul>
<li><a href="#%E6%96%B9%E9%98%B5%E7%9A%84%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F">方阵的行列式</a></li>
<li><a href="#%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5-a">伴随矩阵 $A^*$</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%BA%8C">逆矩阵（二）</a><ul>
<li><a href="#%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5%E6%B3%95">伴随矩阵法</a></li>
<li><a href="#%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%8F%98%E6%8D%A2%E6%B3%95%E8%80%83%E8%AF%95%E7%9A%84%E6%97%B6%E5%80%99%E5%B8%B8%E7%94%A8%E6%B3%95">初等变换法（考试的时候常用法）</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#%E5%88%86%E5%9D%97%E7%9F%A9%E9%98%B5">分块矩阵</a></li>
<li><a href="#%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%8F%98%E6%8D%A2%E4%B8%80">初等变换（一）</a></li>
<li><a href="#%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%8F%98%E6%8D%A2%E4%BA%8C">初等变换（二）</a></li>
<li><a href="#%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%8F%98%E6%8D%A2%E4%B8%89">初等变换（三）</a></li>
<li><a href="#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%A7%A9%E4%B8%80">矩阵的秩（一）</a></li>
<li><a href="#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%A7%A9%E4%BA%8C">矩阵的秩（二）</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#%E5%8F%82%E8%80%83">参考</a></li>
</ul>
<p>参考资料《空间解析几何与线性代数》 ISBN 7-11-14572-0，机械工业出版社。</p>
<p>(╯‵□′)╯︵┻━┻</p>
<p>丛书清单：</p>
<figure class="highlight plaintext"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">高等工科数学系列课程教材</span><br><span class="line">工科数学分析教程</span><br><span class="line">空间解析几何与线性代数</span><br><span class="line">概率论与数理统计</span><br><span class="line">复变函数论与运算微积分</span><br><span class="line">计算技术与程序设计</span><br><span class="line">最优化方法</span><br><span class="line">数学物理方程</span><br></pre></td></tr></table></figure>

<p>线性方程组是线性代数的基础。</p>
<p>搞清楚三个概念</p>
<ol>
<li>行列式概念的形成</li>
<li>行列式的基本性质及计算方法</li>
<li>利用行列式求解线性方程组</li>
</ol>
<h1 id="1-行列式"><a href="#1-行列式" class="headerlink" title="1. 行列式"></a>1. 行列式</h1><h2 id="二阶、三阶行列式"><a href="#二阶、三阶行列式" class="headerlink" title="二阶、三阶行列式"></a>二阶、三阶行列式</h2><p>先来解含两个未知量$x_{1},x_{2}$的线性方程组</p>
<p>$$\begin{cases}<br>a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\<br>a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}<br>\end{cases} \tag{1.1.1}$$</p>
<p>如果想消元$x_{1}$得到$x_{2}$，就将第一行都乘以$a_{21}$，第二行乘以$a_{11}$</p>
<p>$$\begin{cases}<br>a_{11}a_{21}x_{1}+a_{12}a_{21}x_{2}=a_{21}b_{1}\<br>a_{11}a_{21}x_{1}+a_{11}a_{22}x_{2}=a_{11}b_{2}<br>\end{cases} \tag{1.1.2}$$</p>
<p>两个式子相减就能得出只有$x_{2}$的一个式子</p>
<p>$$<br>(a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22})x_{2} = a_{21}b_{1}-a_{11}b_{2}\<br>x_{2} = \frac{a_{21}b_{1}-a_{11}b_{2}}<br>{a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22}}<br>$$</p>
<p>求$x_{1}$也一样</p>
<p>$$\begin{cases}<br>a_{22}a_{11}x_{1}+a_{22}a_{12}x_{2}=a_{22}b_{1}\<br>a_{12}a_{21}x_{1}+a_{22}a_{12}x_{2}=a_{12}b_{2}<br>\end{cases} \<br>x_{1}=\frac{a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}}{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}}<br>\tag{1.1.3}$$</p>
<p>现在开始定义一个新的运算式子</p>
<p>$$<br>x_{1}=\frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}<br>{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}=<br>\frac{<br>\left|\begin{matrix}<br>a_{11}&amp;b_{1}\<br>a_{21}&amp;b_{2}<br>\end{matrix}\right|<br>}{<br>\left|\begin{matrix}<br>a_{11}&amp;a_{12}\<br>a_{21}&amp;a_{22}<br>\end{matrix}\right|}<br>$$</p>
<p>$$<br>x_{2}=\frac{a_{21}b_{1}-a_{11}b_{2}}{a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22}}<br>$$</p>
<p>定义运算，二阶行列式的定义</p>
<p>$$<br>\left|\begin{matrix}<br>a_{11}&amp;a_{12}\<br>a_{21}&amp;a_{22}<br>\end{matrix}\right|=a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}<br>$$</p>
<p>主对角线\</p>
<p>次对角线/</p>
<p>三阶行列式展开。三个正向，三个负向，六个项目。</p>
<p>$$<br>\left|\begin{matrix}<br>1&amp;2&amp;3\<br>4&amp;5&amp;6\<br>7&amp;8&amp;9<br>\end{matrix}\right|=1<em>5</em>9 + 2<em>6</em>7 + 4<em>8</em>3 - 3<em>5</em>7 - 4<em>2</em>9 - 6<em>8</em>1<br>$$</p>
<p>这个画出来就是个环绕的方式。</p>
<h3 id="排列"><a href="#排列" class="headerlink" title="排列"></a>排列</h3><p>由1,2,…,n组成的一个有序数组，叫做n级排列。</p>
<p>n级排列 = n(n-1) … 3<em>2</em>1 = n!</p>
<p>逆序：大数排在小数前面。符号计为N</p>
<p>逆序数：从第一个开始数逆序总数</p>
<p>$$N(4213)=3+1=4$$</p>
<p>4后面有3个比它小的数，2后面只有1个比它小的数，1后面没有比它小的数，3后面也没有比它小的数。所以逆序数为4。</p>
<p>逆序数数字为奇数，就是奇排列，反之就是偶排列。</p>
<p>标准排列（自然排列）</p>
<p>$$N(123…N)=0$$</p>
<p>$$N(n(n-1)…321)=n-1+n-2…+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$$</p>
<p>差数求和公式。</p>
<h3 id="对换"><a href="#对换" class="headerlink" title="对换"></a>对换</h3><p>概念：交换两个数。</p>
<p>N(5 4 2 1 3)</p>
<p>将1，3对换，就变成了</p>
<p>N(5 4 2 1 3)</p>
<p>一个逆序数做一次对换，奇偶性质会变换一次。交换奇数次，奇偶性改变；交换偶数次奇偶性不变。</p>
<p>定理：n级排列中，奇排列、偶排列各占$\frac{n!}{2}$</p>
<h2 id="n阶行列式的定义"><a href="#n阶行列式的定义" class="headerlink" title="n阶行列式的定义"></a>n阶行列式的定义</h2><p>如果划线，4阶行列式=24根线。</p>
<p>先引入三阶行列式：</p>
<p>$$<br>\left|\begin{matrix}<br>a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{13}\<br>a_{21}&amp;a_{22}&amp;a_{23}\<br>a_{31}&amp;a_{32}&amp;a_{33}<br>\end{matrix}\right|= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}+a_{32}<br>-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}<br>$$</p>
<p>行标=标准排列 1 2 3</p>
<p>列表=其实就是取了排列的所有可能。从不同行，不同列取出3个元素相乘。将排列的偶排列数-奇排列的数字。</p>
<figure class="highlight plaintext"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">123  0</span><br><span class="line">231  2    偶排列+</span><br><span class="line">312  2</span><br><span class="line">--------</span><br><span class="line">321  3</span><br><span class="line">213  1    奇排列-</span><br><span class="line">132  1</span><br></pre></td></tr></table></figure>

<p>所以n阶行列式展开，就能通过<strong>按行展开</strong>定义。</p>
<p>$$<br>\left|\begin{matrix}<br>a_{11}&amp;a{12}&amp;…&amp;a_{1n}\<br>a_{11}&amp;a{12}&amp;…&amp;a_{1n}\<br>…&amp;…&amp;…&amp;\<br>a_{n1}&amp;a{n2}&amp;…&amp;a_{nn}<br>\end{matrix}\right|=\sum_J^I a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} … a_{nj_{n}}\<br>J=j_{1},j_{2}…j_{n}\<br>I=N(i_{1},i_{2}…i_{n})\<br>D=|a_{ij}|<br>$$</p>
<p>当行列式大量都是为0的情况下计算展开，能直接计算出来它的值。</p>
<p>其他23个行列式由于都会算到和0相乘，所以都会变成零，可以不去管它们。最终只有这个式子。只需要对2341做奇偶性排列的判断，之后就能确定最终数值。</p>
<p>$$<br>\left|\begin{matrix}<br>0 &amp;2&amp;0&amp;0\<br>0&amp;0&amp;3&amp;0\<br>0&amp;0&amp;0&amp;4\<br>1&amp;0&amp;0&amp;0<br>\end{matrix}\right|= (-1)^{N(2341)}2<em>3</em>4<em>1=-1</em>24<br>$$</p>
<p><em>下三角行列式</em> 主对角线元素相乘。就是主对角线相乘</p>
<p><em>上三行列式</em> 次对角线元素相乘。</p>
<h2 id="行列式性质"><a href="#行列式性质" class="headerlink" title="行列式性质"></a>行列式性质</h2><p>行列式的转置就是行转成列，列传成行。转两次之后就等于自身。转置值不变。</p>
<p>$$D^T=D$$</p>
<blockquote>
<p>性质1：行列式转置之后，对于行成立的性质，对转置之后的列也成立。</p>
</blockquote>
<blockquote>
<p>性质2：一个行列式的两个行做交换之后得到的行列式，符号相反。<br>推论：行列式如果有两行（列）完全相同，行列式是为0</p>
</blockquote>
<p>证明：原理就是列不变，行标变了一次，和上一章节里面的逆数中的定理，排列里面数字交换一次，奇偶性取反。行列式展开的每一项都会是如此，所以符号会取反。</p>
<blockquote>
<p>性质4：某行有公因子，可以提出去到行列式外面。<br>变成了标量乘法。</p>
</blockquote>
<blockquote>
<p>性质5：两列行列式对应程比例，D=0<br>基于4，先将倍率提取到外面，这样就有两行相同的。</p>
</blockquote>
<blockquote>
<p>性质6：是和的那一行分开，<strong>其他行保持不变</strong>，拆开之后相加。</p>
</blockquote>
<p>这个很容易弄错。</p>
<blockquote>
<p>性质7：行列式某行乘以一个数，加到另一行上去，行列式的值不变。<br>其实就是先使用性质6，分离出两个行列式；用提取倍率出去，而且里面两行相同行列式就为0了。</p>
</blockquote>
<p>性质7非常非常重要，出错的人特别多。</p>
<p>例题推算</p>
<p>一般纯数字的行列式都是被转换成一个上三角行列式。</p>
<p>消除掉行列式的值，其实就是将行上的值乘上数字，加到对应行上去，这样消掉对应那个位置的数字。<a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=3">行列式性质53”59’</a></p>
<p>做题，先将有数字1的行要交换上去。先按照规范（用一列消第二列，然后用第二列消第三列，一次来类推，在处理第三行的时候，第二行不再参与运算—原因来自于这样解题会无法结束。其实这个解体类似于解开魔方）来解体，这样反而简单。</p>
<p>第七条定理用得非常频繁，也非常容易让人用的时候糊涂。最好看一下原视频的论述，非常精彩。</p>
<h2 id="行列式按行展开"><a href="#行列式按行展开" class="headerlink" title="行列式按行展开"></a>行列式按行展开</h2><blockquote>
<p>行列式按行展开<br>异乘变零定理<br>行列式相乘定理</p>
</blockquote>
<p>余子式</p>
<p>找到行列式中的某个数字，将它所在的行、列都删除剩下的元素组成的行列式。余子式一般都使用 $M_{12}$ 来表示。</p>
<p>代数余子式</p>
<p>在n阶行列式中，把元素aₒₑ所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aₒₑi的余子式，记作Mₒₑ，将余子式Mₒₑ再乘以-1的o+e次幂记为Aₒₑ，Aₒₑ叫做元素aₒₑ的代数余子式。代数余子式的符号是 $A_{12}$。</p>
<h3 id="按行展开"><a href="#按行展开" class="headerlink" title="按行展开"></a>按行展开</h3><blockquote>
<p>行列式按（列）展开： 行列式的值=某个元素值乘以的自己的代数余子式。</p>
</blockquote>
<p>好处可以降低阶数。</p>
<p>选择0比较多的行或列展开。</p>
<blockquote>
<p>异乘变零：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0</p>
</blockquote>
<h3 id="拉普拉斯定理"><a href="#拉普拉斯定理" class="headerlink" title="拉普拉斯定理"></a>拉普拉斯定理</h3><p>k阶子式。</p>
<p>举例子二阶子式</p>
<p>取两行，两列两行两列相交的数字取出来，就是二阶子式。</p>
<p>去掉所选取的行列的数字，组成的行列式就是二阶余子式。</p>
<p>代数余子式，就是余子式前面加上一个符号，符号决定于，所取行列来决定余子式。</p>
<p>取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与余子式乘积之和=D。</p>
<p>当有成片的0出现的时候，使用这个展开式，将会很快能计算出结果。</p>
<p>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;2&amp;0&amp;0&amp;0\<br>  3&amp;4&amp;0&amp;0&amp;0\<br>  1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5\<br>  1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;1\<br>  8&amp;8&amp;8&amp;3&amp;1<br>\end{matrix}<br>\right|=<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;2\<br>  3&amp;4<br>\end{matrix}<br>\right|<br>(-1)^{1+2+1+2}<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  3&amp;4&amp;5\<br>  1&amp;1&amp;1\<br>  8&amp;3&amp;1<br>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<h3 id="行列式相乘"><a href="#行列式相乘" class="headerlink" title="行列式相乘"></a>行列式相乘</h3><p>只有同阶行列式才能相乘，如果非同阶的行列式，可以将他们的值算出来，直接相乘。如果是为了计算行列式的最终值，其实用的不算太多。</p>
<p>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;1&amp;1\<br>  2&amp;0&amp;0\<br>  0&amp;0&amp;3<br>\end{matrix}<br>\right|<br>\times<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;2&amp;3\<br>  1&amp;3&amp;2\<br>  3&amp;2&amp;1<br>\end{matrix}<br>\right|=<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  5&amp;7&amp;6\<br>  2&amp;4&amp;6\<br>  9&amp;6&amp;3<br>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<p>前面式子的行$\times$后面式子的列相乘累加。</p>
<h2 id="行列式的计算（一）"><a href="#行列式的计算（一）" class="headerlink" title="行列式的计算（一）"></a>行列式的计算（一）</h2><p>考试的时候，基本上都是在考计算行列式的结果，需要利用之前学习的行列式性质，定理来展开。</p>
<ol>
<li>如果是纯数字的行列式，先老老实实的化成上三角行列式。</li>
</ol>
<p>$$<br>\left|\begin{matrix}<br>  2&amp;1&amp;7&amp;-1\<br>  -1&amp;2&amp;4&amp;3\<br>  2&amp;1&amp;0&amp;-1\<br>  3&amp;2&amp;2&amp;1<br>\end{matrix}<br>\right|=\left|\begin{matrix}<br>  2&amp;1&amp;7&amp;-1\<br>  0&amp;2&amp;4&amp;3\<br>  0&amp;0&amp;…&amp;…\<br>  0&amp;0&amp;0&amp;…<br>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<p>消元套路是使用 <a href="###%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E6%80%A7%E8%B4%A8">行列式性质</a>里面第7号特性。先将$a_{21}$位置消元。如同瀑布一样，使用第二行开始将第三行的第二个元素消元。</p>
<p>如果$a_{11}$就是0，就是将某一行加上第一行，放入第一行。</p>
<p>要想办法将第一行的消元的数字变小，避免分数来当作消元元素来计算，造成自己出现很多失误。</p>
<ol start="2">
<li>对行列式，求某一行的余子式的相加</li>
</ol>
<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=5">余子式累加实例24”51’讲解</a></p>
<p>这个解题一共3步骤推导：</p>
<p>1.余子式变成代数余子式，如果需要保持值不变，需要给式子配上符号；<br>2.将代数余子式提取出来，余子式和代数余子式符号不相同但是值相同；<br>3.将其他行都拿过来，将刚刚推出来的余子式的符号写入新的行列式；（还需要再看一次）<br>4.计算行列式的时候，选择行列式中0多的，然后计算。</p>
<p>思路是构造成新的一个行列式，然后算出最终值。原因是直接计算余子式，展开的项目太多了。</p>
<ol start="3">
<li>未知数提取<br>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>x&amp;a&amp;…&amp;a\</li>
</ol>
<p>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<h2 id="行列式的计算（二）"><a href="#行列式的计算（二）" class="headerlink" title="行列式的计算（二）"></a>行列式的计算（二）</h2><p>之前的解题思路总结：</p>
<ol>
<li>将行列式转换成上三角；</li>
<li>将某行或列尽可能化成0，然后按行展开；</li>
</ol>
<p>其实这个就是<a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1r5411J7YR?from=search&seid=14832837741932209290">高斯消元法</a> Gaussian Elimination。</p>
<h3 id="例6：加边法解方程"><a href="#例6：加边法解方程" class="headerlink" title="例6：加边法解方程"></a>例6：加边法解方程</h3><p>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1+a_{1}&amp;1&amp;1&amp;…&amp;1\<br>  1&amp;1+a_{2}&amp;1&amp;…&amp;1\<br>  …&amp;…&amp;…&amp;…&amp;…\<br>  1&amp;1&amp;1&amp;…&amp;1+a_{n}<br>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<p>步骤：</p>
<p>1.加行加列</p>
<p>又叫做<strong>加边法</strong></p>
<p>准则：加边之后不能改变原行列式的值。</p>
<p>增加一行全部都写1，最前面增加一列，全部都写0。</p>
<p>实际做题很少使用的。</p>
<p>三叉戟行列式都是对角线上的数字，将首列的数字消元。</p>
<p>有字母，放到分母，一定要注意字母需要对非零的约束。</p>
<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=6">书签1(15’22”)</a></p>
<p>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;…&amp;1\<br>  0&amp;1+a_{1}&amp;1&amp;1&amp;…&amp;1\<br>  0&amp;1&amp;1+a_{2}&amp;1&amp;…&amp;1\<br>  …&amp;…&amp;…&amp;…&amp;…&amp;…\<br>  0&amp;1&amp;1&amp;1&amp;…&amp;1+a_{n}<br>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<p>这里不变值原因来自于余子式相等。</p>
<p>2.将第一行$\times$-1加到剩余行</p>
<p>消元之后获得一个三叉戟行列式</p>
<p>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;…&amp;1\<br>  -1&amp;a_{1}&amp;&amp;&amp;&amp;\<br>  -1&amp;&amp;1+a_{2}&amp;&amp;&amp;\<br>  …&amp;…&amp;…&amp;…&amp;…&amp;…\<br>  -1&amp;&amp;&amp;&amp;…&amp;a_{n}<br>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<h3 id="例7：范德蒙德行列式"><a href="#例7：范德蒙德行列式" class="headerlink" title="例7：范德蒙德行列式"></a>例7：范德蒙德行列式</h3><p>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;…&amp;1\<br>  x_1&amp;x_2&amp;1x_3&amp;x_4&amp;…&amp;x_n\<br>  …&amp;…&amp;…&amp;…&amp;…&amp;…\<br>  x_1^{n-2}&amp;x_2^{n-2}&amp;x_3^{n-2}&amp;x_4^{n-2}&amp; …&amp;x_n^{n-2}\<br>  x_1^{n-1}&amp;x_2^{n-1}&amp;x_3^{n-1}&amp;x_4^{n-1}&amp; …&amp;x_n^{n-1}<br>\end{matrix}<br>\right| =<br>\prod_{ 1 \leq j &lt; i \leq n }(x_i-x_j)<br>$$</p>
<p>其实第一行是0次幂运算。</p>
<p>$\prod$ 符号其实是连乘符号，和 $\sum$ 连加符号类似的模式，只是符号不相同。</p>
<p>公式里面两处很容易错：</p>
<p>j &lt; i，其他的值域限定都是 $\leq$，<em>其实也好理解 i = j的时候，会直接造成相减为0，这样行列式的值就直接=0</em>。</p>
<p>相减的时候是 $x_i-x_j$ ，这一点宋老师在课堂里面都写错过一次。</p>
<p>如果n=5的情况，写出结果来。</p>
<p>固定 j = 1</p>
<p>$(x_2-x1)<em>(x_3-x_1)</em>(x_4-x_1)*(x_5-x_1)$</p>
<p>固定 j = 2</p>
<p>$(x_3-x_2)<em>(x_4-x_2)</em>(x_5-x_2)$</p>
<p>…</p>
<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=6">书签2(25’27”)</a></p>
<p>证明过程需要使用到的技巧：</p>
<ol>
<li>某一行乘上一个数，加到某一行去；定理7，这种是经常使用的；</li>
<li>数学归纳法—先证明2阶的，然后推算n阶和n-1阶，就能全部证明；</li>
<li>当某一列都乘以了某个数字，就可以将数字提取到行列式外；</li>
<li>使用减边法将行列式维度降低；</li>
</ol>
<p>在出题的时候，不会直白的给你说是范德蒙德行列式，通过两步隐藏起来。</p>
<ol>
<li>将指数运算藏起来；</li>
<li>将行列式转置；</li>
</ol>
<h3 id="例8：反对称行列式、对称行列式"><a href="#例8：反对称行列式、对称行列式" class="headerlink" title="例8：反对称行列式、对称行列式"></a>例8：反对称行列式、对称行列式</h3><p>定义：</p>
<p>反对称行列式：</p>
<p>奇数阶的行列式的值是为0的。</p>
<p>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  0&amp;1&amp;2&amp;3\<br>  -1&amp;0&amp;-5&amp;6\<br>  -2&amp;5&amp;0&amp;-8\<br>  -3&amp;-6&amp;8&amp;0<br>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<ol>
<li>主对角线全为零；</li>
<li>对称位置符号相反；$a_{ij}=-a_{ji}$</li>
</ol>
<p>奇数阶的行列式的值是为0的。</p>
<p>证明过程：</p>
<ol>
<li>先使用3阶的行列式；</li>
<li>将全部行列都提取一个-1；</li>
<li>将会发现行列式变成了转置行列式；</li>
<li>而且转置行列式的值和原始值保持不变$D^t=D$，所以能推算出0；</li>
</ol>
<p>对称行列式：</p>
<p>$$<br>\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;1&amp;-1\<br>  1&amp;2&amp;0\<br>  -1&amp;0&amp;3<br>\end{matrix}<br>\right|<br>$$</p>
<ol>
<li>主对角线任意数值；</li>
<li>对称位置完全相同；$a_{ij}=a_{ji}$</li>
</ol>
<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=6">书签3(44’19”)</a></p>
<p>后续的对称矩阵、反对称矩阵和行列式的定义是一样的。</p>
<h2 id="克莱姆法则-Cramer’s-rule"><a href="#克莱姆法则-Cramer’s-rule" class="headerlink" title="克莱姆法则 Cramer’s rule"></a>克莱姆法则 Cramer’s rule</h2><p>用来解方程组的。</p>
<p>$$\begin{cases}<br>x_1+x_2+x_3=1\<br>x_1-x_2+5x_3=6\<br>-x_1+x_2+6x_3=9<br>\end{cases}$$</p>
<p>3个方程，3个未知数。</p>
<p>应用条件：</p>
<ol>
<li><p>n方程式个数和n未知数相同。</p>
</li>
<li><p>系数行列式，其实就是提取了系数形成的行列式；行列式的值不能为0。$D\neq0$。看到后面才会知道，D将会作为除数，一旦=0，就完蛋了。</p>
</li>
</ol>
<p>定义4个行列式的值：</p>
<p>D为原始的，$D_{1}$是将第一列全部数字都替换成方程组的值这一列，以此类推。</p>
<p>$$D=\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;1&amp;1\<br>  1&amp;-1&amp;5\<br>  -1&amp;1&amp;6<br>\end{matrix}\right|<br>D_{1}=\left|<br>\begin{matrix}<br>  (1)&amp;1&amp;1\<br>  (6)&amp;-1&amp;5\<br>  (9)&amp;1&amp;6<br>\end{matrix}\right|<br>D_{2}=\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;(1)&amp;1\<br>  1&amp;(6)&amp;5\<br>  -1&amp;(9)&amp;6<br>\end{matrix}\right|<br>D_{3}=\left|<br>\begin{matrix}<br>  1&amp;1&amp;(1)\<br>  1&amp;-1&amp;(6)\<br>  -1&amp;1&amp;(9)<br>\end{matrix}\right|<br>$$</p>
<p>最终公式为：</p>
<p>$$ x_{1}=\frac{D_1}{D},x_{2}=\frac{D_2}{D},x_{3}=\frac{D_3}{D} $$</p>
<p>克莱姆法则其实不适合人类计算，但是非常适合计算机来运算解题。</p>
<blockquote>
<p>注： 齐次方程组：当方程组的常数项都为0的情况，就是齐次方程组。（课堂里第一次提到这个概念）</p>
</blockquote>
<blockquote>
<p>定理：</p>
</blockquote>
<blockquote>
<p>齐次方程组：</p>
<p>有非零解的<em>充要条件</em>是$D=0$</p>
<p>$D\neq0$，只有零解</p>
</blockquote>
<h1 id="2-矩阵-Matrix"><a href="#2-矩阵-Matrix" class="headerlink" title="2. 矩阵 Matrix"></a>2. 矩阵 Matrix</h1><h2 id="矩阵概念"><a href="#矩阵概念" class="headerlink" title="矩阵概念"></a>矩阵概念</h2><p>有了行列式，为什么要出一个矩阵的概念。</p>
<p>$行 \times 列$ 矩阵，是数表。</p>
<p>$A_{2 \times 3}$。</p>
<p>矩阵和行列式的区别：</p>
<table>
<thead>
<tr>
<th align="left"></th>
<th align="left">行列式</th>
<th align="left">矩阵</th>
</tr>
</thead>
<tbody><tr>
<td align="left">本质</td>
<td align="left">一个数字</td>
<td align="left">数表</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">符号</td>
<td align="left">|</td>
<td align="left">(（注{大括号在行列式里面不会使用。）</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">形状</td>
<td align="left">行数=列数</td>
<td align="left">行数可以不等于列数</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">提公因子</td>
<td align="left">一行提一次</td>
<td align="left">全部的元素的公因子提一次</td>
</tr>
</tbody></table>
<p>矩阵里面有实数矩阵、复数矩阵。</p>
<h2 id="零矩阵"><a href="#零矩阵" class="headerlink" title="零矩阵"></a>零矩阵</h2><p>元素都为0的矩阵。</p>
<h2 id="负矩阵"><a href="#负矩阵" class="headerlink" title="负矩阵"></a>负矩阵</h2><p>A -A</p>
<p>矩阵行列相等就是方阵</p>
<p>$A_{n \times n} = A_{n}$</p>
<h2 id="单位矩阵"><a href="#单位矩阵" class="headerlink" title="单位矩阵"></a>单位矩阵</h2><p>符号用E,I，一定是方阵。</p>
<p>$$E,I=\left(<br>  \begin{matrix}<br>    1&amp;&amp;&amp;\<br>    &amp;1&amp;&amp;\<br>    &amp;&amp;1&amp;\<br>    &amp;&amp;&amp;1<br>  \end{matrix}<br>\right)$$</p>
<p>除了主对角线都为1，其他都为0。</p>
<p>矩阵相等前提是同形矩阵。</p>
<p>零矩阵可能不相等，因为可能不同形状。</p>
<p>方阵才有主对角线，此对角线。</p>
<h2 id="矩阵运算（一）"><a href="#矩阵运算（一）" class="headerlink" title="矩阵运算（一）"></a>矩阵运算（一）</h2><p>线性代数有176个知识点。老师打印了一张A4纸，两面写满。</p>
<h3 id="加法"><a href="#加法" class="headerlink" title="加法"></a>加法</h3><p>同形矩阵才能加，对应元素能加减。</p>
<h3 id="减法"><a href="#减法" class="headerlink" title="减法"></a>减法</h3><p>同形矩阵才能减，对应元素能加减。</p>
<p>运算交换律，结合律都满足。</p>
<h3 id="数乘"><a href="#数乘" class="headerlink" title="数乘"></a>数乘</h3><p>其实就是将一个标量与矩阵相乘。</p>
<h3 id="提公因子"><a href="#提公因子" class="headerlink" title="提公因子"></a>提公因子</h3><p>矩阵的所有元素均有公因子，才能对外提一次公因子。</p>
<p>行列式提公因子是一行提一次。</p>
<p>乘法的结合律和交换律是合适用的。</p>
<h3 id="矩阵的乘法（非常重要）"><a href="#矩阵的乘法（非常重要）" class="headerlink" title="矩阵的乘法（非常重要）"></a>矩阵的乘法（非常重要）</h3><p>看起来很容易，其实做题很多坑。</p>
<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=9&spm_id_from=pageDriver">书签4-14’19”</a></p>
<h4 id="矩阵乘法速记"><a href="#矩阵乘法速记" class="headerlink" title="矩阵乘法速记"></a>矩阵乘法速记</h4><p>$$\left(<br>  \begin{matrix}<br>    2&amp;1&amp;0\<br>    1&amp;0&amp;1<br>  \end{matrix}<br>\right)\left(<br>  \begin{matrix}<br>    1&amp;0&amp;1\<br>    0&amp;1&amp;1\<br>    0&amp;1&amp;1<br>  \end{matrix}<br>\right)=\left(<br>  \begin{matrix}<br>    2&amp;1&amp;3\<br>    1&amp;1&amp;2<br>  \end{matrix}<br>\right)<br>$$</p>
<p>$$A_{2\times 3} \times B_{2} $$</p>
<p>矩阵相乘前提条件：</p>
<p>第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数。</p>
<p>相乘结果：</p>
<p>行数第一个矩阵相等。</p>
<p>列数和第二个矩阵相等。</p>
<p>宋老师七字口诀：</p>
<p>$$A_{3 \times 4} B_{4 \times 5} $$</p>
<p>中间相等，取两头。</p>
<p>其实就是罗列矩阵的下标数字：</p>
<p>3,4,4,5</p>
<p>中间数字： 4,4相等，就能乘；</p>
<p>取两头： 3,5 这就是结果的矩阵的形状。</p>
<p>$$\left(<br>  \begin{matrix}<br>    -1&amp;1&amp;5\<br>    4&amp;3&amp;-2<br>  \end{matrix}<br>\right) \left(<br>  \begin{matrix}<br>    1&amp;-1\<br>    0&amp;2\<br>    -3&amp;6<br>  \end{matrix}<br>\right)=?<br>$$</p>
<p>得出公式：</p>
<p>$$A_{2 \times 3} B_{3 \times 2} = C_{2 \times 2}$$</p>
<h4 id="乘法不满足的三规律"><a href="#乘法不满足的三规律" class="headerlink" title="乘法不满足的三规律"></a>乘法不满足的三规律</h4><ol>
<li>乘法是不满足交换律</li>
</ol>
<p>$$AB \neq BA$$</p>
<p>AB能相乘的情况下，BA都可能不能乘。</p>
<p>但是也有可能存在AB可交换。</p>
<p>AB读的时候：</p>
<p>A左乘B</p>
<p>B右乘A</p>
<ol start="2">
<li><p>由AB=0,无法推理出A=0或者B=0。</p>
</li>
<li><p>推理相等</p>
</li>
</ol>
<p>$$AB=AC, A \neq 0 $$无法推理出 $$B=C$$</p>
<h4 id="与零矩阵相乘"><a href="#与零矩阵相乘" class="headerlink" title="与零矩阵相乘"></a>与零矩阵相乘</h4><p>都是相乘之后就等0。</p>
<h4 id="与E（单位矩阵）相乘"><a href="#与E（单位矩阵）相乘" class="headerlink" title="与E（单位矩阵）相乘"></a>与E（单位矩阵）相乘</h4><p>AE=A EB=B</p>
<h4 id="结合律分配律"><a href="#结合律分配律" class="headerlink" title="结合律分配律"></a>结合律分配律</h4><p>在结合分配率使用的时候，位置一定不变。</p>
<p>结合律：(AB)C=A(BC)<br>分配律：(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB<br>数乘：k(AB)=(kA)B=A(kB)</p>
<h4 id="例6：可交换"><a href="#例6：可交换" class="headerlink" title="例6：可交换"></a>例6：可交换</h4><ol>
<li>其实按矩阵乘法展开；</li>
<li>列出方程式；</li>
<li>最后获得答案；</li>
</ol>
<p>其实有规律，两个矩阵是同阶的方阵，才能做这个计算。</p>
<h4 id="例7："><a href="#例7：" class="headerlink" title="例7："></a>例7：</h4><p>从方程组转换成为矩阵。</p>
<p>使用矩阵相乘获取最终的答案。</p>
<p>$$\begin{cases}<br>x_1=y_1-y_2\<br>x_2=y_1+y2<br>\end{cases}<br>\begin{cases}<br>y_1=z_1+z_2+z_3\<br>y2=z_1+2z_2+z3<br>\end{cases}<br>\begin{cases}<br>z_1=u_1+u_2\<br>z_2=u_1+0u_2\<br>z_2=-u_1+u_2<br>\end{cases}<br>$$</p>
<p>如何将</p>
<p>$$\left(<br>  \begin{matrix}<br>    x_1\<br>    x_2<br>  \end{matrix}<br>\right)<br>$$</p>
<p>数值计算出来？</p>
<h2 id="矩阵运算（二）"><a href="#矩阵运算（二）" class="headerlink" title="矩阵运算（二）"></a>矩阵运算（二）</h2><h3 id="矩阵幂运算"><a href="#矩阵幂运算" class="headerlink" title="矩阵幂运算"></a>矩阵幂运算</h3><p>$A^k = \underbrace{AA…A}_{k个}$</p>
<p>定义：</p>
<p>$A^0=E$</p>
<p>性质1：</p>
<p>$A^{K_1}A^{K_2}=A^(k_1+k2)$</p>
<p>性质2：</p>
<p>$(A^{k_1})^{k_2}=A^{k_1k_2}$</p>
<p>性质3：</p>
<p>一般来说：</p>
<p>$(AB)^k \neq A^k B^k$</p>
<p>$(A+B)^2 \neq A^2 + 2AB+B^2$</p>
<p>还是来自于AB和BA不相等造成的。</p>
<p>$(A-B)^2 \neq A^2-2AB+B^2$</p>
<p>如果B=E单位向量，那就是成立的。</p>
<p>例八：</p>
<p>思维锻炼方法，告辞米的时候，需要跳出来做。</p>
<p>去将一个中间的数字计算出一个常数，然后提取出来。</p>
<h3 id="转置"><a href="#转置" class="headerlink" title="转置"></a>转置</h3><p>$A^T$</p>
<p>和行列式的转置是完全一样的。</p>
<p>$A_{m \times n}^T=A_{n \times m}$</p>
<p>性质：</p>
<p>$(A^T)^T=A$</p>
<p>$(A+B)^T=A^T+B^T$</p>
<p>$(kA)^T=kA^T$</p>
<p>$(AB)^T=B^T A^T$</p>
<h2 id="特殊矩阵"><a href="#特殊矩阵" class="headerlink" title="特殊矩阵"></a>特殊矩阵</h2><h3 id="数量矩阵"><a href="#数量矩阵" class="headerlink" title="数量矩阵"></a>数量矩阵</h3><p>只有主对角线有值，且相等。</p>
<h3 id="对角形矩阵"><a href="#对角形矩阵" class="headerlink" title="对角形矩阵"></a>对角形矩阵</h3><p>只有主对角线有值，且有一串数字。</p>
<p>数学符号：</p>
<p>$\diagdown$</p>
<p>$diag(a_1,a_2,…,a_n)$</p>
<p>对角形矩阵左乘与右乘相同的方阵，刚好是转置的。</p>
<h3 id="三角形矩阵"><a href="#三角形矩阵" class="headerlink" title="三角形矩阵"></a>三角形矩阵</h3><p>主对角线上部非零，下部都是0，就是上三角矩阵。</p>
<p>主对角线下部非零，下部都是0，就是下三角矩阵。</p>
<h3 id="对称矩阵"><a href="#对称矩阵" class="headerlink" title="对称矩阵"></a>对称矩阵</h3><p>对称矩阵有个性质</p>
<p>$a_{ij}=a_{ji}$</p>
<p>本质上是：</p>
<p>$A^T=A$</p>
<p>定理1：</p>
<p>$A,B对称 \rightleftarrows AB可交换$</p>
<p>例2</p>
<p>反对称矩阵</p>
<p>$a_{ij}=-a_{ji}，a_{ii}=0$</p>
<p>$A^T=-A$</p>
<h2 id="逆矩阵（一）"><a href="#逆矩阵（一）" class="headerlink" title="逆矩阵（一）"></a>逆矩阵（一）</h2><p>逆矩阵就是将两个逆矩阵相乘之后能得到单位向量。</p>
<p>一定不要把矩阵放到分母的位置上。</p>
<p>方阵的行列式。</p>
<p>矩阵式有很多属性，但是行列式是一个数字。</p>
<p>$$矩阵\begin{cases}<br>  特值\<br>  特量\<br>  行列式\<br>  …<br>\end{cases}<br>$$</p>
<p>获取矩阵的行列式，其实就是将它的属性提取出来。</p>
<h3 id="方阵的行列式"><a href="#方阵的行列式" class="headerlink" title="方阵的行列式"></a>方阵的行列式</h3><p>性质1：</p>
<p>$$\left|<br>A^T<br>\right|=\left|<br>A\right|$$</p>
<p>原理就是行列式转置，值不变。</p>
<ul>
<li>性质2：</li>
</ul>
<p>$$\left|<br>kA<br>\right|=k^n\left|<br>A\right|$$</p>
<p>行列式和矩阵提取的方式不一样造成。</p>
<p>性质3：</p>
<p>$$\left|<br>AB<br>\right|=\left|<br>A\right|\left|<br>B\right|$$</p>
<h3 id="伴随矩阵-A"><a href="#伴随矩阵-A" class="headerlink" title="伴随矩阵 $A^*$"></a>伴随矩阵 $A^*$</h3><p>只有方阵才有伴随矩阵。</p>
<ol>
<li>求出全部元素的代数余子式；</li>
<li>按照行求的代数余子式，按照列放，构成一个矩阵就是伴随矩阵；</li>
</ol>
<p>数学符号：</p>
<p>$A^*$ </p>
<p>口诀：</p>
<p><em>按行求，按列放</em></p>
<p>定理1：</p>
<p>对于任意的一个方阵都成立。</p>
<p>$AA^*=A^*A=\left|A\right|E$</p>
<p>证明过程：</p>
<p>代数余子式乘以自己本身就是行列式的值，否则就是0；定理就是异乘变零定理，章节1.3里面写过；</p>
<p>推论2.4.1</p>
<p>前提条件:</p>
<p>$\left|A\right| \neq 0$</p>
<p>$\left|A^*\right|=\left|A\right|^{n-1}$</p>
<p>后续再证明当不等0的情况也合适。</p>
<h2 id="逆矩阵（二）"><a href="#逆矩阵（二）" class="headerlink" title="逆矩阵（二）"></a>逆矩阵（二）</h2><h3 id="伴随矩阵法"><a href="#伴随矩阵法" class="headerlink" title="伴随矩阵法"></a>伴随矩阵法</h3><p>逆矩阵定义： A是n阶方阵，存在n阶方阵B， </p>
<p>$AB=BA=E$</p>
<p>$A^-1=B$</p>
<p>但是方阵一定不要放到分母中！</p>
<ol>
<li><p>未必所有方阵都可逆；</p>
</li>
<li><p>若可逆，逆矩阵唯一；</p>
</li>
</ol>
<p>证明是通过结合律。</p>
<p>？ 如何判断是否可逆；</p>
<p>？ 如何求出逆矩阵；</p>
<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=13&spm_id_from=pageDriver">书签-12’10”</a></p>
<p>定义： 如果：$\left|A\right| \neq 0$ 就说明：非奇异/非退化/满秩，说明可逆。否则相反。</p>
<p>定理： A矩阵可逆的充要条件是 $\left|A\right| \neq 0$，且 $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A^{*}$</p>
<p>证明过程：</p>
<ol>
<li>充分性</li>
</ol>
<p>$\left|A\right| \neq 0$</p>
<p>（后面需要使用这个来做分母。）</p>
<ol start="2">
<li>只要A矩阵是一个方阵就有这个式子的成立（永远成立）：</li>
</ol>
<p>$AA^*=A^*A=\left|A\right|E$</p>
<p>（这个概念在上一节说伴随矩阵的定义的时候说的。）</p>
<ol start="3">
<li><p>将式子全部除以 $\frac{1}{\left|A\right|}$</p>
</li>
<li><p>从逆矩阵的定义出发</p>
</li>
</ol>
<p>$AB=BA=E$</p>
<p>B就是A的逆矩阵。</p>
<p>最终推理出这个式子。</p>
<p>推论： An方 Bn方 AB=E 演算一次就好了，而BA的可逆，是一定可以的。（常用）</p>
<p>前提：</p>
<p>$AB=E$</p>
<p>所以</p>
<p>$\left|A\right|\left|B\right|=1$</p>
<p>两数相乘不等于0，说明两个数字都不为零。</p>
<p>不为零的方正一定可逆。</p>
<p>总结：</p>
<p>这种求矩阵的方法为<em>伴随矩阵法</em>。按照计算量来说，估计又是给计算机来用的。</p>
<h3 id="初等变换法（考试的时候常用法）"><a href="#初等变换法（考试的时候常用法）" class="headerlink" title="初等变换法（考试的时候常用法）"></a>初等变换法（考试的时候常用法）</h3><p>矩阵方程：</p>
<p>$AX=A+2X$</p>
<p>$$A=\left(\begin{matrix}<br>  4&amp;2&amp;3\<br>  1&amp;1&amp;0\<br>  -1&amp;2&amp;3<br>\end{matrix}<br>  \right)<br>$$</p>
<p>常见错误集合：</p>
<ol>
<li>矩阵相乘需要检查矩阵是否同形；</li>
<li>矩阵永远不要放到分母上；</li>
<li>矩阵的乘法不满足交换律，所以自己想，或者和人沟通的时候，一定要定义为左乘，或者右乘；</li>
<li>矩阵不是一定可逆的，所以在做转换的时候不能直接就这样认为；想要用这个，就需要先证明；</li>
<li>注意提数出去的时候，方向问题，这一点和左乘，右乘类似；</li>
</ol>
<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=13&spm_id_from=pageDriver">书签-46’40”</a></p>
<p>这些东西都容易糊涂的。</p>
<p>待定法（假借法）。这种基本上太耗费时间，人在考试的时候，基本上解不完这个题目。</p>
<p>考试的时候一定是使用初等变换法来解题。</p>
<p>性质6： A可逆，$A^{-1}$可逆，$(A^{-1})^{-1}=A$</p>
<p>$(A^{-1})^{-1}A (A^T)^T=A$</p>
<p>推论： AB=E,$A^{-1}=B$</p>
<p>$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)^{T}=B^{T}A^{T}$</p>
<p>性质：</p>
<p>A可逆，$A^T$可逆 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$</p>
<p>下面这个式子，证明的时候，需要使用逆矩阵去括号之后交换。</p>
<p>$A^T(A^{-1})^{T}=(A^{-1}A)^T=E^T=E$</p>
<p>逆矩阵朝外提的时候，是需要放到分母上。具体证明，还是需要带入定义公式。</p>
<p>$k\neq0 (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$</p>
<p>性质7： A可逆 $\left|A^{-1}\right|=\left|A\right|^{-1}$</p>
<p>再次强调，非零的行列式能作为分母，任何矩阵都不能作为分母。</p>
<p>性质8： A可逆，$A^*$也可逆， $(A^*)^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A$</p>
<p>证明过程：</p>
<p>伴随矩阵的恒等式</p>
<p>$AA^*=\left|A\right|E$ 两边都除以 $\left|A\right|$，再根据逆矩阵相乘等于单位阵，可以推论出来式子。</p>
<p>伴随矩阵总结 $A^*$</p>
<ol>
<li>按行求，按列放</li>
<li>$AA^*=\left|A\right|E$</li>
<li>$\left|A^*\right|=\left|A\right|^{n-1}$</li>
<li>$\left|A^{-1}\right|=\left|A\right|^{-1} A^*=\left|A^{-1}\right|A^{-1}$</li>
</ol>
<p>思考题：</p>
<p>$(A^*)^*=\left|A^<em>\right|(A^</em>)^{-1}=\left|A\right|^{n-1}\frac{1}{\left|A\right|}A=\left|A\right|^{n-2}A$</p>
<p>前面部分都是需要使用公式的带入，最后一步，</p>
<p>$((A^*)^*)^*=\left|A\right|^{n^2-3n+3}A^{-1}$</p>
<h2 id="分块矩阵"><a href="#分块矩阵" class="headerlink" title="分块矩阵"></a>分块矩阵</h2><p>$$\left(\begin{matrix}<br>  1&amp;1&amp;3&amp;4&amp;0\<br>  2&amp;0&amp;1&amp;1&amp;0\<br>  1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;3\<br>  4&amp;1&amp;1&amp;1&amp;0<br>\end{matrix}<br>\right)$$</p>
<p>标准形，从左上角开始的一串1（不断）。标准形不一定是方的。</p>
<p>全部都是0的矩阵，也是标准形。</p>
<p>分块矩阵做加法</p>
<p>加法的时候，必须形状一样的。对应位置的数字相加。</p>
<p>数乘</p>
<p>直接将标量数字乘上全部元素。</p>
<p>乘法</p>
<p>类似矩阵相乘。</p>
<p>有前提条件，矩阵中间相同。</p>
<p>分块矩阵的转置：</p>
<ol>
<li>先将子块当成普通元素先转置；</li>
<li>再将每个子块做转置；</li>
</ol>
<p>例6 分块矩阵求逆的过程记录一下。</p>
<h2 id="初等变换（一）"><a href="#初等变换（一）" class="headerlink" title="初等变换（一）"></a>初等变换（一）</h2><p>初等变换，行、列变换</p>
<p>行变换：</p>
<p>交换两行</p>
<p>用k$k\neq0$乘以某一行</p>
<p>某一行乘$ell$倍加到另一行上去。注意$ell$可以为零</p>
<p>列变换，其实和行变换相似。</p>
<p>符号是使用箭头链接，不要用等号。</p>
<p>本质：对矩阵的变化。</p>
<p>这些对应行列式里面也有类似的定义，但是行列式和矩阵不一样。注意矩阵和行列式的交换没有任何关系。</p>
<p>初等变换矩阵不要求式方阵。</p>
<p>只有在方阵的时候，才有可能二者有联系。</p>
<p>定理1：任意给一个矩阵，都可以通过初等变换化为标准形。（行、列变换都可以）</p>
<p>考点：给定一个矩阵，化为标准形。标准形，在上节课讲过。</p>
<h2 id="初等变换（二）"><a href="#初等变换（二）" class="headerlink" title="初等变换（二）"></a>初等变换（二）</h2><h2 id="初等变换（三）"><a href="#初等变换（三）" class="headerlink" title="初等变换（三）"></a>初等变换（三）</h2><h2 id="矩阵的秩（一）"><a href="#矩阵的秩（一）" class="headerlink" title="矩阵的秩（一）"></a>矩阵的秩（一）</h2><h2 id="矩阵的秩（二）"><a href="#矩阵的秩（二）" class="headerlink" title="矩阵的秩（二）"></a>矩阵的秩（二）</h2><h1 id="参考"><a href="#参考" class="headerlink" title="参考"></a>参考</h1><ul>
<li>[1] <a target="_blank" rel="noopener" href="https://muzhan.blog.csdn.net/article/details/81385790?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-searchFromBaidu-3.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-searchFromBaidu-3.control">markdown公式1</a></li>
<li>[2] <a target="_blank" rel="noopener" href="http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0604.html">求解线性方程组实例</a></li>
<li>[3] <a target="_blank" rel="noopener" href="https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?from=search&seid=11900062682580761753">宋洁老师-行列式</a></li>
<li>[4] <a target="_blank" rel="noopener" href="https://space.bilibili.com/88461692">3Blue1Brown</a></li>
<li>[5] <a target="_blank" rel="noopener" href="https://latex.91maths.com/">在线LaTex工具</a></li>
<li>[6] <a target="_blank" rel="noopener" href="http://www.ptep-online.com/ctan/lshort_chinese.pdf">LaTex语法</a></li>
<li>[7] <a target="_blank" rel="noopener" href="https://baike.baidu.com/item/%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%B6%88%E5%85%83%E6%B3%95/619561?fr=aladdin">高斯消元法</a></li>
</ul>

      
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